I found a confirmation about the first statement, but nothing about the fee.

Ehefähigkeitszeugnis - Ausstellung beantragen - Serviceportal Baden-Württemberg
Ausländer und Ausländerinnen, die in Deutschland heiraten möchten, brauchen auch ein Ehefähigkeitszeugnis.
In diesem Zeugnis bestätigt die zuständige Heimatbehörde, dass der Eheschließung kein gesetzliches Ehehindernis entgegensteht.
Ist die Ausstellung des Zeugnisses nicht möglich, müssen Sie eine Befreiung beim Präsidenten des Oberlandesgerichts beantragen.
Wenn gleichgeschlechtliche Paare heiraten möchten und der Heimatstaat die gleichgeschlechtliche Ehe nicht vorsieht, muss kein Ehefähigkeitszeugnis vorgelegt werden.

Foreigners who want to get married in Germany also need a marriage certificate.
In this certificate, the competent home authority confirms that there are no legal obstacles to the marriage.
If it is not possible to issue the certificate, you must apply for an exemption from the President of the Higher Regional Court.
If same-sex couples wish to marry and the country of origin does not provide for same-sex marriage, no marriage certificate is required.

• Baden Württemberg

I found a confirmation about the first statement, but nothing about the fee. See quote below, which states that if the net income cannot be reliably determined the highest amount will be taken (€305.00).

Ehefähigkeitszeugnis - Ausstellung beantragen - Serviceportal Baden-Württemberg
Ausländer und Ausländerinnen, die in Deutschland heiraten möchten, brauchen auch ein Ehefähigkeitszeugnis.
In diesem Zeugnis bestätigt die zuständige Heimatbehörde, dass der Eheschließung kein gesetzliches Ehehindernis entgegensteht.
Ist die Ausstellung des Zeugnisses nicht möglich, müssen Sie eine Befreiung beim Präsidenten des Oberlandesgerichts beantragen.
Wenn gleichgeschlechtliche Paare heiraten möchten und der Heimatstaat die gleichgeschlechtliche Ehe nicht vorsieht, muss kein Ehefähigkeitszeugnis vorgelegt werden.

Foreigners who want to get married in Germany also need a marriage certificate.
In this certificate, the competent home authority confirms that there are no legal obstacles to the marriage.
If it is not possible to issue the certificate, you must apply for an exemption from the President of the Higher Regional Court.
If same-sex couples wish to marry and the country of origin does not provide for same-sex marriage, no marriage certificate is required.

Oberlandesgericht Stuttgart - Ehefähigkeitsverfahren

• Allgemeine Hinweise (PDF 114 KB)

11. Kosten des Verfahrens / Einkommensnachweise
Die Gebühr für das Verfahren auf Befreiung von der Beibringung des Ehefähigkeitszeugnisses bestimmt sich nach Nr. 1330 der Anlage -Kostenverzeichnis- zu § 4 Absatz 1 des Justizverwaltungskostengesetzes (JVKostG) vom 23.07.2013 (BGBl I. S. 2586, 2655) und liegt zwischen 15,00 € und 305,00 €.
Beim Oberlandesgericht – Verwaltungsabteilung – Stuttgart werden Gebühren aus dem Nettoeinkommen des ausländischen und somit zu befreienden Antragstellers berechnet. Stellen beide Brautleute einen Befreiungsantrag, werden für beide die Gebühren fällig. Es ist daher im Antragsvordruck das monatliche Nettoeinkommen des zu befreienden Teiles anzugeben bzw. ein entsprechender Einkommens-nachweis beizufügen. Ausländische Währungen sind in EUR umzurechnen.
Ohne die Eintragung des monatlichen Nettoeinkommens des Antragstellers bzw. ohne die Beifügung entsprechender Einkommensnachweise muss das monatliche Nettoeinkommen jeweils geschätzt werden. Im Zweifel wird die Höchstgebühr von 305,00 EUR festgesetzt.

The fee for the procedure for exemption from the provision of the certificate of unfitness to marry is determined according to No. 1330 of the Annex -List of costs- to § 4 paragraph 1 of the Judicial Administration Costs Act (JVKostG) of 23.07.2013 (BGBl I. S. 2586, 2655) and is between 15, €00 and €305.00.
At the Higher Regional Court - Administrative Department - Stuttgart, fees are calculated from the net income of the foreign applicant who is therefore to be exempted. If both bride and groom apply for an exemption, the fees are due for both. Therefore, the monthly net income of the part to be exempted must be stated in the application form or a corresponding proof of income must be attached. Foreign currencies are to be converted into EUR
Without entering the applicant's monthly net income or without enclosing the relevant proof of income, the monthly net income must be estimated in each case. In case of doubt, the maximum fee of EUR 305.00 will be set.